Critère de divisibilité par 7 - Corrigé

Énoncé

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\) qui s'écrit \(n=10a+b\) avec  \(a\) ,  \(b \in \mathbb{N}\) . Démontrer que \(n\) est divisible par  \(7\) si, et seulement si, \(a-2b\) est divisible par \(7\) .

2. Application
Sans calculatrice, déterminer les nombres divisibles par  \(7\) parmi  \(2~275 \ ; \ 68~992 \ ; \ 39~345.\)   

Solution

1. On remarque que \(-2n \equiv -20a-2b \equiv a-21a-2b \equiv a-2b \ [7]\) .
On a donc : 
\(\begin{align*} n \text{ est divisible par } 7 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ n \equiv 0 \ [7] \\ & \ \ \Longrightarrow \ \ -2n \equiv 0 \ [7] \\ & \ \ \Longrightarrow \ \ a-2b \equiv 0 \ [7] \\ & \ \ \Longrightarrow \ \ a-2b \text{ est divisible par } 7. \end{align*}\)  
Réciproquement, si \(a-2b\) est divisible par \(7\) ,  alors \(a-2b \equiv 0 \ [7]\) , donc \(a \equiv 2b \ [7]\) , et donc \(\begin{align*} n \equiv 10a+b \equiv 10 \times 2b+b \equiv 20b+b \equiv 21b \equiv 0 \ [7] \end{align*}\)  donc \(n\) est divisible par \(7\) .

2. 

• On a : 
  \(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n_1=10a+b & a&b&2b&n_2=a-2b \\ \hline 2~275 & 227 & 5 & 10 & 217 \\ \hline 217 & 21 & 7 & 14 & 7 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)   
  donc  \(2~275\)  est divisible par  \(7\) .
  
• On a :
  \(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n_1=10a+b & a & b & 2b & n_2=a-2b \\ \hline 68~992 & 6~899 & 2 & 4 & 6~895 \\ \hline 6~895 & 689 & 5 & 10 & 679 \\ \hline 679 & 67 & 9 & 18 & 49 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)  
  donc  \(68~992\)  est divisible par \(7\) .
  
• On a : 
  \(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n_1=10a+b & a & b & 2b & n_2=a-2b \\ \hline 39~345 & 3~934 & 5 & 10 & 3~924 \\ \hline 3~924 & 392 & 4 & 8 & 384 \\ \hline 384 & 38 & 4 & 8 & 30 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)  
  donc  \(39~345\)  n'est pas divisible par \(7\) .